Programa Matematica de rangos, ventana Matrices, Igualdades

Operaciones con matrices y resolución de sistemas lineales de igualdades

Llenado de matrices

Dentro de esta división del programa puede llenar matrices de tamaño hasta 100х100 elementos y ejecutar diferentes operaciones con ellas.

La mayoría de funciones que el programa puede ejecutar, las ejecuta sobre una sola matriz: A.  Sólo algunas de las funciones permiten ser ejecutadas sobre las matrices  B o С.  Estas matrices son llamadas desde el menú del programa.

Si alguna de funciones para su ejecución requiere dos matrices, por ejemplo, suma de matrices o su división, siempre la primera matriz es A, y la segunda matriz es В. El resultado siempre se escribe dentro de la matriz D.  La matriz C se usar para guardar resultados preliminares o intermedios.

Matrices pueden ser llenadas manualmente o automáticamente.  Matrices grandes son tardadas y difíciles de llenar manualmente (por ejemplo, si desea hacer pruebas con funciones disponibles para ejecutarse con matrices, necesitará algunas matrices de prueba).  Para llenar una matriz manualmente, simplemente escriba unos números dentro de celdas correspondientes de la tabla de cada matriz dentro de la ventana Matriz A o Matriz В.

Matrices se llenan automáticamente, usando el menú Matrices \ Llenado.  Allí puede seleccionar los siguientes tipos de auto-llenado de matrices:

  • Completa numérica

  • Unitaria

  • Diagonal

  • Triangular superior

  • Triangular inferior

  • Completa simbólica

También puede seleccionar las siguientes fuentes de llenado para la matriz A:

  • De base de datos

  • De memoria

  • De la ventana Anotaciones preliminares.

La matriz puede ser copiada de Microsoft Excel y de otros programas.  El régimen de selección de matrices dentro del programa se cambia pulsando el botón F2.

Ventana “Parámetros de matrices”

En esta ventana se especifican los siguientes parámetros de matrices: Cantidad de columnas (elementos en una línea) y Cantidad de líneas (elementos en una columna) para tres matrices: A, B y C.  Por ejemplo, si Ud. dentro de ventanilla Cantidad de líneas (elementos en una columna) escribió número 3, obtendrá una matriz de tres líneas.  Matrices y igualdades lineales pueden tener una cantidad diferente de líneas y columnas, pero es más frecuente el uso de matrices cuadradas donde la cantidad de líneas es igual a la cantidad de columnas.

Las igualdades lineales siempre tienen la cantidad de columnas mayor en uno que la cantidad de líneas.

Igualdades lineales

Igualdades lineales que deseamos resolver con la ayuda del programa se introducen a la ventana Igualdades, matrices \ Datos de matrices y igualdades lineales en forma de coeficientes de igualdades lineales. 

Interpretación de matrices como coeficientes de igualdades según posicionamiento de elementos de matrices.

Todos los números introducidos a la matriz,

–7          15          –8.22   2          –12      –12
–13        –1          7          –10      1          –11
–5          0            4          –6        6          –10
11          7            –9        12        11        –4
–14        –6          –8        14        5          0

Al trabajar con igualdades lineales se consideran coeficientes de igualdades, que tienen el siguiente aspecto:

–7*x1 +  15*x2 –8.22*x3 +  2*x4 –12*x5 = –12
–13* x1 + (–1)* x2 +  7* x3 + (–10)* x4 + 1* x5 = (–11)
(–5)* x1 + 0* x2 +  4* x3 + (–6)* x4 + 6* x5 = (–10)
11* x1 +  7* x2 + (–9)* x3 + 12* x4 + 11* x5 = (–4)
(–14)* x1 + (–6)*x2 + (–8)* x3 +  14* x4 + 5* x5 = 0

Cuando llena una matriz, los símbolos х1, х3... , etc., se omiten, suponiendo por definición, que la primera columna contiene coeficientes de х1, la segunda –coeficientes del х2, y la última es un miembro libre (sin х), ubicado a la derecha del signo de igualdad.  Esta forma de introducción de igualdades lineales está aceptada condicionalmente por el programa. Cuando las igualdades lineales iniciales tienen el aspecto:

3*x1 + 4*x2 + 6 = 0
–7*x1 + 12*x2 – 4 = 0,

Entonces, al escribir los coeficientes de igualdades así a una tabla, tiene que cambiar el coeficiente correspondiente al miembro libre por uno con el signo contrario, escribiendo la matriz de la siguiente forma:

3          4          –6
–7        12        4

Forma que corresponde al sistema de igualdades así:

3*x1 + 4*x2 = –6
–7*x1 + 12*x2 = 4.

En este caso particular, obligatoriamente hay que indicar la “Cantidad de líneas” = 2 y la “Cantidad De columnas” = 3.  ¡Dentro de la tabla no puede haber celdas vacías sin completar!

Métodos de resolución de igualdades lineales

Como se puede apreciar del menú “Igualdades” \ “Igualdades lineales” se puede resolver un sistema de igualdades con los métodos siguientes:

  • Método de Kramer

  • Método de Gauss

  • Método de elementos seleccionados (principales) comprensible

  • Método de elementos seleccionados (principales) formal

Los dos últimos se difieren uno de otro por el orden de ejecución de acciones.
Todos estos métodos resuelven igualdades escritas dentro de la matriz A con explicaciones sobre el proceso de resolución.

Siguiente tema: Cálculo de sistemas no lineales e igualdades de rectas, planos y vectores

Con el tema:

Menú “Matrices”: selección de operaciones

Para Matrices numéricas son disponibles las siguientes funciones del menú:

  1. Sumar matrices A+B=D

  2. Restar matrices A–B=D

  3. Multiplicar matrices A*B=D

  4. Dividir matrices A/B=D

  5. Multiplicar matriz “A” por escalar “p”

  6. Elevar matriz “A” a un grado entero “p” A^p=DMódulo (valor absoluto)

  7. Encontrar matriz inversa A^(–1)=D \ Método de transformaciones elementales, Método de Gauss, Método de elementos seleccionados

  8. Transformación inversa de variables

  9. Encontrar matriz transpuesta A→D

  10. Determinante como producto de todos elementos de línea y de complemento algebraico \ Hasta 5x5-totalmente, 9x9-resultado. Con selección de línea (columna). Sin demostración del proceso y sin selección de línea (columna), \ Primer línea simbólica, el resto – numéricas 10. Determinante de símbolos abstractos “Amn”

  11. Rango y defecto de matriz “A”

  12. Determinante por reducción de matriz a forma triangular

  13. Determinante como producto de todos elementos de línea y de complemento algebraico

  14. Determinante con método de elementos principales

  15. Determinante con método de transformaciones elementales

  16. Determinante de matriz “A” con método de Gauss

  17. Espacio de resoluciones de un sistema homogéneo \ Por despliegue inmediato, Con método de Levelier

  18. Complemento algebraico, menor \ Todos “n–1”, De elemento a[i,k] de matriz “A”

  19. Valores propios y vectores propios de matriz “A” \ Método de despliegue directo, Método de Danilevskiy

  20. Concentrar términos \ En la parte izquierda superior de matriz, En diagonal principal

  21. Ortogonalizar matriz “A” \ Ortogonalizacion de columnas, Ortogonalizacion de líneas

Todo el proceso de resolución de matrices, o igualdades lineales se muestra con explicaciones dentro de la ventana Anotaciones \ Anotaciones preliminares.

Para "Matrices de variables, funciones y números" son disponibles los siguientes puntos del menú:

  1. Sumar matrices A+B=D

  2. Restar matrices A–B=D

  3. Multiplicar matrices A*B=D

  4. Multiplicar matriz A por escalar “p”

  5. Multiplicar matriz “A” por expresión “q”

  6. Elevar matriz “A” a un grado entero “p” A^p=D

  7. Encontrar modulo (valor absoluto) de matriz “A”

  8. Encontrar matriz transpuesta A→D

  9. Determinante como producto de todos elementos de línea y de complemento algebraico \ Hasta 5x5-totalmente, 9x9-resultado. Con selección de línea (columna). Sin demostración del proceso y sin selección de línea (columna), \ Primer línea simbólica, el resto – numéricas 10. Determinante de símbolos abstractos “Amn”

  10. Determinante de símbolos abstractos “Amn”

  11. Determinante de símbolos y números de matriz “A” \ Con cálculo de expresiones numéricas, Sin cálculo de expresiones numéricas

  12. Complemento algebraico de matriz “A”. Todos “n–1”

  13. Complemento algebraico de elemento a[i,k] de matriz “A”

  14. Convertir matriz “A” en numérica, sustituyendo valores de variables

  15. Borrar paréntesis sobrantes

  16. Simplificar expresión despejando paréntesis. No incluir binomios

  17. Simplificar expresión sin abrir paréntesis.