Вікна програми Діапазонна математика, вікно Матриці, рівняння

Операції з матрицями та розрахунок систем лінійних рівнянь

Заповнення матриць

В цьому розділі, Ви можете заповнювати матриці розміром до 100х100 елементів, та виконувати над ними різні дії.

Більшість функцій які програма виконує над однією матрицею, вона виконує завжди над матрицею А.  Тільки окремі функції дозволяють виконувати себе з матрицями  В або С.  Це зразу видно із меню програми.

Якщо якась функція потребує двох матриць, наприклад, додавання матриць, або множення матриць, то завжди перша матриця – це А, а друга – це В.  Результат завжди записується у матрицю D.  Матрицю C зручно використовувати для зберігання проміжних результатів.

Матриці можна заповнювати вручну або автоматично.  Великі матриці тяжко і довго заповняти вручну (наприклад, коли Ви хочете попробувати функції, які виконуються над матрицями, вам будуть потрібні якісь пробні матриці).  Щоб заповнити матрицю вручну, просто напишіть відповідні числа у відповідні клітини таблиці для кожної матриці у відповідному вікні Матриця А або Матриця В. Автоматично матриці заповнюються з меню Матриці \ Заповнення.  Там Ви можете вибрати такі варіанти авто заповнення матриць:

  • Повна чисельна

  • Одинична

  • Діагональна

  • Трикутна верхня

  • Трикутна нижня

  • Повна символьна

Також для матриці А можете вибрати такі джерела заповнення:

  • Із бази даних

  • З пам’яті

  • З вікна Попередній запис.

Матрицю можна також копіювати з Microsoft Excel та з інших програм. Режим виділення матриці та зміна режиму роботи таблиці задається натисканням кнопки клавіатури F2.

Вікно "Параметри матриць"

На цій сторінці задаються наступні параметри матриць:  Кількість вертикальних стовпчиків (елементів у рядку) та Кількість горизонтальних рядків  (елементів у стовпчику) для трьох матриць – A, B i C.  Наприклад, якщо Ви написали у вікно Кількість горизонтальних рядків число 3, то отримаєте матрицю з трьома рядками.  І матриці і лінійні рівняння бувають з різним числом рядків та стовпчиків, але найчастіше вживаються матриці квадратні, у них число рядків дорівнює силу колонок (стовпчиків).

Лінійні рівняння завжди мають число стовпчиків на один більше, ніж число рядків.

Лінійні рівняння

Лінійні рівняння, які бажаємо розв’язати за допомогою програми, вводяться у вікно Рівняння, матриці \ Дані матриць і лінійних рівнянь у вигляді коефіцієнтів лінійних рівнянь.

Інтерпретація матриць як коефіцієнтів рівнянь по положенню елементів матриці

Всі числа, записані в матрицю,

–7          15          –8.22   2          –12      –12
–13        –1          7          –10      1          –11
–5          0            4          –6        6          –10
11          7            –9        12        11        –4
–14        –6          –8        14        5          0

при роботі з лінійними рівняннями розглядаються як коефіцієнти рівняння, що має такий вигляд:

–7*x1 +  15*x2 –8.22*x3 +  2*x4 –12*x5 = –12
–13* x1 + (–1)* x2 +  7* x3 + (–10)* x4 + 1* x5 = (–11)
(–5)* x1 + 0* x2 +  4* x3 + (–6)* x4 + 6* x5 = (–10)
11* x1 +  7* x2 + (–9)* x3 + 12* x4 + 11* x5 = (–4)
(–14)* x1 + (–6)*x2 + (–8)* x3 +  14* x4 + 5* x5 = 0

Коли заповнюєте матрицю, символи х1, х2, х3... , тощо, не пишуться, знаючи, що перша колонка – це коефіцієнти при х1, друга – коефіцієнти при х2, остання – це вільний член (без х), і він розміщений після знаку дорівнює.  Така форма запису лінійних рівнянь умовно прийнята у програмі. 
Коли початкові лінійні рівняння записані у вигляді:

3*x1 + 4*x2 + 6 = 0
–7*x1 + 12*x2 – 4 = 0,

то записуючи коефіцієнти такого рівняння у таблицю, маєте змінювати коефіцієнт при вільному члені на протилежний, записавши таку матрицю:

3          4          –6
–7        12        4

що відповідатиме прийнятій формі:

3*x1 + 4*x2 = –6
–7*x1 + 12*x2 = 4.

У цьому конкретному випадку обов’язково потрібно задати Кількість рядків =2, Кількість стовпчиків = 3. Тобто у таблиці не може бути пустих незаповнених клітин!

Методи розв’язання лінійних рівнянь

Системи рівнянь можна розв’язувати такими методами:

  • Метод Крамера

  • Метод Гауса

  • Метод вибраних (головних) елементів пояснювальний

  • Метод вибраних (головних) елементів формальний

Останні два відрізняються один від одного порядком виконання дій.
Всі ці методи розв’язують рівняння, записане у матриці А із поясненнями ходу розв’язку.

Наступна тема: Нелінійні рівняння

До теми:

Вибір функцій для матриць з меню "Матриці"

Після заповнення числових матриць з ними можна виконувати наступні функції вказані в меню:

  1. Сума А+B=D

  2. Різниця А–B=D

  3. Множення А*B=D

  4. Ділення А/B=D

  5. Множення числа p на матрицю

  6. Матриця  А  в степені p (ціле число)  A^p=D

  7. Модуль (абсолютна величина)

  8. Обернена A^(–1)=D \ Методом елементарних перетворень, Методом Гауса, Методом вибраних елементів

  9. Обернене (зворотне) перетворення змінних

  10. Транспонована матриця

  11. Норма матриці \ m норма, L норма, k норма

  12. Ранг та дефект матриці А

  13. Визначник приведенням матриці до трикутного виду

  14. Визначник множенням всіх членів рядка на доповнення

  15. Визначник методом головних елементів

  16. Визначник методом елементарних перетворень

  17. Визначник матриці A методом Гауса

  18. Простір рішень однорідної системи \ Безпосереднім розгортанням, Методом Левер’є

  19. Алгебраїчне доповнення, мінор \ Всі n–1, елемента a[i,k] матриці A

  20. Власні значення (власні числа) та власні вектори матриці А \ Безпосереднє розгортання, Методом Данилевського

  21. Концентрувати числа \ В лівій верхній частині матриці, В головній діагоналі

  22. Зробити ортогональною матрицю А \ Ортогоналізацією стовпців, Ортогоналізацією рядків

Весь процес розв’язку матриць та лінійних рівнянь виводиться з поясненнями у вікно Оформлення \ Попередній запис.

Для матриць із змінних, функцій та чисел доступні такі пункти меню:

  1. Сума А+B=D

  2. Різниця А–B=D

  3. Множення А*B=D

  4. Множення числа p на матрицю A

  5. Множення виразу q на матрицю A

  6. Матриця  А  в степені p (ціле число)  A^p=D

  7. Модуль матриці A (абсолютна величина)

  8. Транспонована A→D

  9. Визначник матриці A множенням всіх членів рядка на доповнення. Для матриць до 5х5 з повним виводом, а для матриць від 6х6 до 9х9 з виводом тільки результату.  При цьому можна обрати бажаний рядок, або колонку, по яким буде проводитись розклад.

  10. Визначник матриці A множенням всіх членів рядка на доповнення. Без демонстрації процесу і без вибору рядка (стовпця)

  11. Визначник із абстрактних символів Amn

  12. Визначник із символів і чисел матриці  A. Із обчисленням числових виразів

  13. Визначник із символів і чисел матриці  A. Без обчислення числових виразів

  14. Алгебраїчне доповнення матриці A. Всі n–1

  15. Алгебраїчне доповнення a[i,k] елемента матриці A

  16. Перетворити матрицю A в числову, підставивши значення змінних.

  17. Визначник у символьному вигляді: множенням членів рядка на доповнення

  18. Визначник у символьному вигляді: із абстрактних символів Amn

  19. Визначник у символьному вигляді: із символів і чисел матриці  A